Эллиптические функции Вейерштрасса

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют [math]\displaystyle{ \wp }[/math]-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ [math]\displaystyle{ \wp }[/math] (стилизованное P).

Определение

Пусть задана эллиптическая кривая [math]\displaystyle{ E=\mathbb{C}/\Gamma }[/math], где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — решётка в [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \wp }[/math]-функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда

[math]\displaystyle{ \wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{w\in\Gamma\setminus\{0\}} \left(\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right). }[/math]

Можно увидеть, что так определённая функция будет [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]-периодичной на [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], и потому является мероморфной функцией на [math]\displaystyle{ E }[/math].

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда [math]\displaystyle{ \sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{(z-w)^2} }[/math] — «наивной» попытки задать [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]-периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как[math]\displaystyle{ \frac{1}{|w|^2} }[/math], а сумма [math]\displaystyle{ \sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{|w|^2} }[/math] по двумерной решётке [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] расходится.

Варианты определения

Задавая решётку [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] её базисом, [math]\displaystyle{ \Gamma=\{m \omega_1 + n \omega_2 \mid m,n\in \mathbb{Z}\} }[/math], можно записать

[math]\displaystyle{ \wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2} - \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2} \right). }[/math]

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, [math]\displaystyle{ \wp(az;a\omega_1,a\omega_2)=a^{-2}\wp(z;\omega_1,\omega_2) }[/math], обозначив [math]\displaystyle{ \tau=\omega_2/\omega_1 }[/math], имеет место равенство

[math]\displaystyle{ \wp(z;\omega_1,\omega_2)=\omega_1^{-2} \wp(z/\omega_1;1,\tau). }[/math]

Поэтому рассматривают

[math]\displaystyle{ \wp(z;\tau)=\wp(z;1,\tau)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m-n\tau)^2} - \frac{1}{(m+n\tau)^2} \right). }[/math]

Свойства

• Функция Вейерштрасса [math]\displaystyle{ \wp_E:E\mapsto \widehat{\mathbb{C}} }[/math] — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
• Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения [math]\displaystyle{ e_1, e_2, e_3 }[/math]. Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом [math]\displaystyle{ z\mapsto -z }[/math] кривой E — точки 0 и трёх полупериодов [math]\displaystyle{ \omega_1/2,\omega_2/2, (\omega_1+\omega_2)/2 }[/math]. Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой [math]\displaystyle{ E/(z\mapsto -z) }[/math] (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана [math]\displaystyle{ \widehat{\mathbb{C}} }[/math].
• Воспользовавшись разложением [math]\displaystyle{ \frac{1}{(w-z)^2}=\frac{1}{w^2} +\sum\nolimits_{j=1}^{\infty} \frac{j+1}{w^{j+2}} z^j }[/math] и просуммировав по [math]\displaystyle{ w\in \Gamma\setminus \{0\} }[/math], можно получить разложение в точке [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] функции Вейерштрасса в ряд Лорана:

[math]\displaystyle{ \wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=2}^{\infty} (2k+1) G_{2k}(\Gamma) z^{2k-2}, }[/math] где [math]\displaystyle{ G_{2k}(\Gamma)=\sum_{w\in\Gamma\setminus \{0\}} w^{-2k} }[/math] — ряды Эйзенштейна для решётки [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при [math]\displaystyle{ z^2 }[/math] и [math]\displaystyle{ z^4 }[/math] зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}P^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots, }[/math]

где [math]\displaystyle{ g_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ g_3 }[/math] — модулярные инварианты решётки [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]:

[math]\displaystyle{ g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma), \quad g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma). }[/math]

Вложение эллиптических кривых в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}P^2 }[/math]

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}P^2 }[/math], предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую [math]\displaystyle{ E=\mathbb{C}/\Gamma }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}P^2 }[/math] и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение [math]\displaystyle{ F:E\to \mathbb{C}P^2 }[/math], задаваемое вне точки [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] как [math]\displaystyle{ F(z)=(\wp(z),\wp'(z))\in \mathbb{C}^2. }[/math] Поскольку функция [math]\displaystyle{ \wp }[/math] мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из [math]\displaystyle{ E }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}P^2 }[/math].

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции [math]\displaystyle{ \wp(z) }[/math], так и функции [math]\displaystyle{ \wp'(z) }[/math] — это точка [math]\displaystyle{ z=0 }[/math]. Более того, поскольку [math]\displaystyle{ \wp(z) }[/math] — чётная функция, [math]\displaystyle{ \wp'(z) }[/math] — нечётная, и, соответственно, [math]\displaystyle{ (\wp'(z))^2 }[/math] — чётная. Функция [math]\displaystyle{ \wp(z) }[/math] имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса [math]\displaystyle{ (\wp')^2 }[/math] могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней [math]\displaystyle{ \wp }[/math]. Явно подбирая коэффициенты из разложений

[math]\displaystyle{ \wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots, }[/math]

[math]\displaystyle{ (\wp'_E(z))^2=\left(-\frac{2}{z^3} + \frac{1}{10}g_2(\Gamma) z + \frac{1}{7}g_3(\Gamma) z^3 + \dots\right)^2 = \frac{4}{z^6} - \frac{2}{5} g_2(\Gamma) \frac{1}{z^2} - \frac{4}{7} g_3(\Gamma) + \dots, }[/math]

видим, что разница

[math]\displaystyle{ \varphi(z)=(\wp_E'(z))^2-4\wp_E^3(z)+g_2(E) \wp(z) }[/math]

в точке [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] неособая. Но [math]\displaystyle{ \varphi(z) }[/math] голоморфна и вне [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] (в силу голоморфности [math]\displaystyle{ \wp }[/math] и [math]\displaystyle{ \wp' }[/math]), поэтому [math]\displaystyle{ \varphi(z) }[/math] — голоморфная на всей компактной римановой поверхности [math]\displaystyle{ E }[/math] функция. В силу принципа максимума [math]\displaystyle{ \varphi(z) }[/math] — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным [math]\displaystyle{ -g_3(E) }[/math]. Окончательно, функция [math]\displaystyle{ (\wp'(z))^2 -4 \wp^3(z) + g_2(E) \wp(z) +g_3(E) }[/math] обращается на [math]\displaystyle{ E }[/math] в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения [math]\displaystyle{ F }[/math] это эллиптическая кривая в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}P^2 }[/math], задаваемая уравнением

[math]\displaystyle{ y^2=4x^3-g_2(E) x - g_3(E). }[/math]

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты [math]\displaystyle{ g_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ g_3 }[/math] с соответствующими суммами обратных степеней [math]\displaystyle{ G_2(E) }[/math] и [math]\displaystyle{ G_3(E) }[/math]: благодаря такому традиционному выбору нормировки, в уравнении на кривую [math]\displaystyle{ g_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ g_3 }[/math] — это в точности коэффициент при [math]\displaystyle{ x }[/math] и свободный член.

Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображение

Для эллиптической кривой [math]\displaystyle{ E }[/math] задающая её решётка [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре [math]\displaystyle{ (E,\omega) }[/math], где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — ненулевая голоморфная 1-форма на [math]\displaystyle{ E }[/math]: в качестве [math]\displaystyle{ \omega }[/math] можно взять проекцию на [math]\displaystyle{ E }[/math] формы [math]\displaystyle{ dz }[/math] на [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], тогда [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] восстанавливается как набор всевозможных интегралов [math]\displaystyle{ \omega }[/math] по петлям на торе [math]\displaystyle{ E }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Gamma=\left\{\int_{\gamma} \omega \mid \gamma\in H_1(E) \right\} }[/math]

На эллиптической кривой [math]\displaystyle{ y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E) }[/math], являющейся образом отображения [math]\displaystyle{ F=(\wp_E,\wp'_E) }[/math], имеется голоморфная форма [math]\displaystyle{ \omega=\frac{dx}{y} }[/math]. Несложно видеть, что она является в точности образом формы [math]\displaystyle{ dz }[/math] на [math]\displaystyle{ E }[/math] при отображении [math]\displaystyle{ F }[/math]. Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

• Обратное отображение к отображению [math]\displaystyle{ F }[/math] ищется как интеграл формы [math]\displaystyle{ \omega }[/math]:

[math]\displaystyle{ z(x,y)= \int_{\infty}^{(x,y)} \frac{dx}{y}, }[/math]

где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой [math]\displaystyle{ F(E) }[/math]. Бесконечно удалённая точка на кривой [math]\displaystyle{ F(E) }[/math] при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки [math]\displaystyle{ z=0 }[/math], а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math].

• Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

[math]\displaystyle{ \wp_E^{-1}(x) = \int_{\infty}^x \frac{dx}{\pm\sqrt{4x^3+g_2(E)x+g_3(E)}}. }[/math]

(выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]).

• Решётка [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] восстанавливается как множество интегралов формы [math]\displaystyle{ \frac{dx}{y} }[/math] по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой [math]\displaystyle{ y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E) }[/math].

Сложение точек на эллиптической кривой

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления [math]\displaystyle{ E=\mathbb{C}/\Gamma }[/math] это просто сложение точек [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. Для «геометрического» — как вложенной в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}P^2 }[/math] кривой [math]\displaystyle{ y^2=4x^3+px+q }[/math] — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение [math]\displaystyle{ F=(\wp(z),\wp'(z)) }[/math] переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:

[math]\displaystyle{ \det\begin{bmatrix} \wp(u) & \wp'(u) & 1\\ \wp(v) & \wp'(v) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1 \end{bmatrix}=0 }[/math]

для любых [math]\displaystyle{ u+v+w=0 }[/math]. Также, ввиду чётности [math]\displaystyle{ \wp }[/math] и нечётности [math]\displaystyle{ \wp' }[/math], оно может быть записано как

[math]\displaystyle{ \det\begin{bmatrix} \wp(z) & \wp'(z) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1\\ \wp(z+w) & -\wp'(z+w) & 1 \end{bmatrix}=0 }[/math]

Применение в голоморфной динамике

С помощью [math]\displaystyle{ \wp }[/math]-функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв [math]\displaystyle{ \Gamma=\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a,b\in\mathbb{Z} \} }[/math], можно рассмотреть отображение [math]\displaystyle{ D }[/math] удвоение на торе [math]\displaystyle{ E=\mathbb{C}/\Gamma }[/math]:

[math]\displaystyle{ D(z) = 2z \, \mod \mathbb{Z}[i]. }[/math]

Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение [math]\displaystyle{ D }[/math] корректно спускается на фактор [math]\displaystyle{ S^2=E/(z\sim -z) }[/math]. Поэтому отображение D отображением [math]\displaystyle{ \wp }[/math] полусопряжено некоторому рациональному отображению [math]\displaystyle{ R:\mathbb{C}P^1\to \mathbb{C}P^1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \wp \circ D = R\circ \wp. }[/math]

Иными словами,

[math]\displaystyle{ R(z)=\wp(2 \wp^{-1}(z)). }[/math]

Для такого отображения [math]\displaystyle{ R }[/math] образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа [math]\displaystyle{ J(R)=\mathbb{C}P^1 }[/math], а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения [math]\displaystyle{ R }[/math] равна четырём (поскольку отображение [math]\displaystyle{ z\mapsto 2z }[/math] на торе имеет степень 4), и его коэффициенты [math]\displaystyle{ R }[/math] можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора [math]\displaystyle{ R }[/math] в нуле через ряд Лорана для [math]\displaystyle{ \wp }[/math] (и, соответственно, для [math]\displaystyle{ \wp^{-1} }[/math]).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Weierstrass Elliptic Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math], Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
• A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2